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En una reciente entrevista, el físico y divulgador francés Christophe Galfard, discípulo del mismísimo Stephen Hawking, afirmaba que “el universo que observamos con los telescopios es finito. El infinito solo existe en las matemáticas”.
Puede parecer una afirmación un tanto controvertida e, incluso, atrevida, para alguien que se dedica a la ciencia. Aunque también es cierto que, en nuestra vida cotidiana, usamos la palabra infinito quizás con demasiada ligereza.
El infinito de lo cotidiano
Muchos de nuestros lectores, padres de adolescentes, seguro que profesan una paciencia infinita con ellos (o quizás ellos con nosotros, quién sabe). Cuando una reunión de comunidad o de trabajo se nos hace soporífera, decimos que se nos ha hecho infinita. ¿Y qué me dicen de las esperas infinitas al teléfono para hablar con un humano y no con un chatbot cuando llamamos a un servicio de atención al cliente? Incluso, desde Toy Story nos recordaron que debemos llegar “hasta el infinito y más allá”.
Normalmente, cuando usamos esta palabra, nos referimos a algo extraordinariamente grande, un número descomunal. Sin embargo, en matemáticas, esto no es del todo así.
El infinito en matemáticas
El infinito matemático no es un número, es un concepto. Todos sabemos contar: 1, 2, 3… Para ello, usamos los números, que en matemáticas llamamos números naturales. Pero ¿sabría decirme cuál es el último número que conoce? En realidad, se trata de una pregunta trampa, pues en cuanto por su mente pase un número muy grande, si le pone “más uno”, ya tiene otro más grande.
Desde esta perspectiva, podríamos decir que hay infinitos números (los griegos clásicos –sobre todo, Aristóteles– afirmarían que “hay más números que cualquier cantidad –finita– que podemos imaginar”). El hijo de una buena amiga –la gran divulgadora y matemática Clara Grima– dijo con tan sólo 9 años que “el infinito es eso que os habéis inventado los matemáticos cuando os cansáis de contar”.
La verdad es que la frase no puede ser más acertada. Porque una cosa es que una colección de objetos (o números) sea ilimitada y otra es que digamos que hay infinitos de esos objetos. Esta forma de pensar trae numerosos problemas… que ya Aristóteles vio venir cuando introdujo el concepto de infinito potencial e infinito actual.
El primero es sinónimo de lo ilimitado: hay más objetos que cualquier cantidad que puedas imaginar. Esta idea entra dentro de nuestra lógica. Nuestro cerebro está preparado para aceptarla. Sin embargo, el infinito actual es harina de otro costal. Es ese salto mortal que hay que hacer para decir que hay “infinitos números”. Porque, si aceptamos decir que el tamaño de los números naturales es infinito, entonces empiezan a pasar “cosas raras”. La primera es tratar de responder a esta pregunta: ¿qué hay más, números naturales o números pares?
La respuesta más probable que se nos viene a la cabeza es que hay “el doble de naturales que de pares”. ¿Seguro?
Los tamaños de infinito
Imagine que metemos en un cajón los números naturales y en otro, los pares. Del primer cajón, saco un número natural. Después, busco su doble en el segundo cajón y los emparejo. Si asumimos que este proceso termina en algún momento, resulta que ambos cajones quedan vacíos a la vez. Si, en vez de números, fuesen cucharas y tenedores lo que había en cada cajón… seguro que diríamos que hay la misma cantidad de ambos. Pues con los números ocurre lo mismo.
Raro, ¿verdad? Pero la cosa no acaba aquí. A finales del siglo XIX, un matemático alemán, Georg Cantor, demostró que, aceptando plenamente el infinito actual, no hay un único infinito, sino muchos. ¿Cuántos? Más que cualquier cantidad que podamos imaginar.
Con su método de la diagonal, Cantor demostró que el infinito de los números naturales, los de contar, es más pequeño que el infinito que surge de contar los puntos que hay en un segmento, el continuo.
Y a partir de aquí, la locura… tanto del infinito como de su hacedor, pues Cantor murió tras sufrir episodios recurrentes de depresión y hospitalizaciones en sanatorios psiquiátricos. Y es que sus revolucionarias ideas fueron duramente criticadas por algunos matemáticos de la época, incluido uno de sus profesores en Berlín, Leopold Kronecker, quien llegó a escribir que Cantor era un “charlatán” y que sus ideas eran “más propias de un circo” que de las matemáticas.
El infinito en la actualidad
Hoy en día, todos alabamos la obra de Cantor y bendecimos el momento en que creó “el paraíso infinito del que nadie será capaz de expulsarnos”, como bien dijo el matemático David Hilbert en 1925.
Así, el infinito ha pasado a ser un concepto más en matemáticas. No es un número, no es una distancia… es la forma que hemos tenido los matemáticos de ir más allá de nuestra mente, sin volvernos locos, y trabajar con ello.
Sin el infinito, no tendríamos cálculo infinitesimal, por ejemplo. Tras su descubrimiento en paralelo por los grandes genios Isaac Newton y Gottfried Leibniz, esta herramienta llegó a su estado actual gracias al concepto de límite, que no es más que esa idea de acercarnos tanto como queramos, pero sin tocar. Y, gracias al cálculo infinitesimal y a sus poderosas herramientas (las ecuaciones diferenciales), hemos conseguido desde domesticar el comportamiento de un electrón, hasta aventurarnos a pisar la Luna o enviar una sonda más allá de los límites de nuestro sistema solar.
Pero… ¿realmente hay cosas infinitas?
Todo lo anterior se puede resumir en que el infinito es la conceptualización de lo muy grande (o lo muy pequeño). No es un número ni una distancia. Es un concepto que podemos estirar y estirar… y llevarlo todo lo lejos que podamos.
En matemáticas, los límites solo los pone nuestra imaginación. Sin embargo, en física –las matemáticas aplicadas a la vida real–, hay limitaciones propias de nuestro universo.
Por tal motivo, para encontrar algo verdaderamente infinito en el universo que habitamos solo hay que buscar en un lugar muy concreto: la mente de un matemático.
El infinito puede no existir en la realidad, pero su estudio por parte de las matemáticas es esencial para comprender el mundo que nos rodea: de lo extremadamente grande a lo increíblemente pequeño. Cosas de la ciencia básica…
José Antonio Prado Bassas no recibe salario, ni ejerce labores de consultoría, ni posee acciones, ni recibe financiación de ninguna compañía u organización que pueda obtener beneficio de este artículo, y ha declarado carecer de vínculos relevantes más allá del cargo académico citado.
